Question

【题目】已知函数.

（1）求的最大值；

（2）证明:对任意的,都有；

（3）设,比较与的大小,并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】分析：（1）判断出函数的单调性，然后可求得最大值．（2）由（1）得．设，转化为证明即可，根据的单调性可得结论成立．（3）由条件得，且，由于，故只需比较与的大小．令，设，故只需证明即可，由函数的单调性可得结论成立．

详解：（1）由题意得，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴．

（2）由（1）得．

设，则，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，

∴．

所以对任意的恒成立．

（3）由条件得，且，

∵，

∴，

故只需比较与的大小．

令，

设，

则.

因为，所以，

∴函数在上单调递增，

∴．

∴对任意恒成立，

即，

∴．