Question

【题目】已知函数f（x）φ）﹣cos（ωx+φ）（），x＝0和x是函数的y＝f（x）图象的两条相邻对称轴．

（1）求f（）的值；

（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调区间，并求其在[]上的值域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）[4kπ，4kπ]k∈Z，值域为．

【解析】

（1）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，利用函数是偶函数求出，然后求解的值．（2）由函数图象的变换可求，利用余弦函数的单调性可求的单调区间，由，结合函数的单调性可求最大值．

（1）函数f（x）sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ），

因为函数是偶函数，

所以φkπ，k∈Z，解得：φ＝kπ，k∈Z，

∵φ＜0，

∴φ．

函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，

所以T＝π，Tπ，所以ω＝2；

f（x）＝2sin（2x）＝﹣2cos2x，

则f（）＝﹣2cos（2）＝﹣2cos（）；

（2）由函数图象的变换可知，y＝g（x）＝﹣2cos（x），

由2kπx2kπ+π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，

即函数y＝g（x）的单调递增区间为：[4kπ，4kπ]k∈Z，

由2kπ+πx2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，

即函数y＝g（x）的单调递减区间为：[4kπ，4kπ]k∈Z，

∵x∈，

∴结合函数的单调性可知：

当x0，即x时，y＝g（x）最小值为﹣2，

当x，即x时，y＝g（x）最大值为0.

所以函数的值域为．