题目内容
【题目】已知圆
：
，定点
，
是圆上的一动点，线段
的垂直平分线交半径
于
点．
（1）求点的轨迹
的方程；
（2）四边形
的四个顶点都在曲线上，且对角线
、
过原点
，若
，求证：四边形的面积为定值，并求出此定值．
【答案】（1）
；（2）证明详见解析，定值为
．
【解析】
（1）利用椭圆的定义即可得到
点的轨迹
的方程；
（2）不妨设点
、
位于
轴的上方，则直线
的斜率存在，设的方程为
，与椭圆方程联立，求出四边形
的面积，即可证明结论.
（1）因为在线段
的中垂线上，所以
．
所以
，
所以轨迹是以
，
为焦点的椭圆，且
，
，所以
，
故轨迹的方程．
（2）不妨设点、位于轴的上方，则直线的斜率存在，设的方程为
，
，
．
联立
，得
，
则
，
．①
由
，
得
．②
由①、②，得
．③
设原点到直线的距离为
，
，
．④
由③、④，得
，故四边形的面积为定值，且定值为．
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