Question

将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：首先由题意建立起无盖铁盒的体积函数，变形成为（a-2x）•（a-2x）•4x，分析得到其“和”是定值，联想到利用基本不等式求最值，即可得出结论．

解答： 解：设剪去的小正方形的边长为x，则无盖铁盒体积V=（a-2x）²•x．
所以：V=（a-2x）²•x=

1

4

（a-2x）•（a-2x）•4x≤

1

4

[

(a-2x)+(a-2x)+4x

3

]³=

2

27

a³，
当且仅当a-2x=4x时，即x=

a

6

时取得最大值

2

27

a³．

点评：此题主要考查利用基本不等式求最值在实际问题中的应用．前提是“一正二定三相等”，需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．然后应用不等式即可．