Question

已知椭圆C：

x2

2

+y2=1的两焦点为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）满足0＜

x 2 0

2

+

y

2 0

＜1，则|PF₁|+PF₂|的取值范围为

 

，直线

x0x

2

+y0y=1与椭圆C的公共点个数

 

．

Answer 1

分析：当P在原点处时（|PF₁|+|PF₂|）_min=2，当P在椭圆顶点处时，取到（|PF₁|+|PF₂|）_max=2

2

，故范围为[2．因为（x₀，y₀）在椭圆

x2

2

+y2=1的内部，则直线

x•x0

2

+y•y0=1上的点（x，y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点．

解答：解：依题意知，点P在椭圆内部．画出图形，
由数形结合可得，当P在原点处时（|PF₁|+|PF₂|）_min=2，
当P在椭圆顶点处时，取到（|PF₁|+|PF₂|）_max为(

2

-1)+(

2

+1)=2

2

，
故范围为[2，2

2

）．
因为（x₀，y₀）在椭圆

x2

2

+y2=1的内部，
则直线

x•x0

2

+y•y0=1上的点（x，y）均在椭圆外，
故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个．
答案：[2，2

2

），0．

点评：本题考查椭圆的性质及其应用，画出图形，数形结合事半功倍．