Question

（2011•许昌三模）已知椭圆C：

x2

2

+y2=1的左右焦点分别为F₁、F₂，下顶点为A，点P是椭圆上任意一点，圆M是以PF₂为直径的圆．
（I）当圆M的面积为

π

8

时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当圆M与直线AF₁相切时，求圆M的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意求出椭圆的焦点坐标和下顶点A的坐标，设出P点坐标，利用两点间的距离公式求出PF₂的长度，根据以PF₂为直径的圆的面积为

π

8

列式求出P点坐标，则PA所在的直线方程可求；
（Ⅱ）写出直线AF₁的方程，由中点坐标公式求出圆M的圆心坐标，再由圆心到直线的距离等于圆的半径列出P的横纵坐标的关系式，根据P在椭圆上得另一关系式，两式联立可求M的坐标，从而得到圆M的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知F₁（-1，0），F₂（1，0），A（0，-1），
设点P（x₁，y₁），则
|PF2|2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+1-

x12

2

=

(x1-2)2

2

，
∴|PF₂|=

2

-

2

2

x1．
而圆M的面积为

π

8

，∴

π

8

=

π

8

(x1-2)2，∴x₁=1．
∴P（1，

2

2

）或P（1，-

2

2

）
故PA所在直线方程为y=(1+

2

2

)x-1或y=(1-

2

2

)x-1；
（Ⅱ）直线AF₁ 的方程为x+y+1=0，且M(

x1+1

2

，

y1

2

)到直线AF₁ 的距离为

| x1+1 2 + y1 2 +1|

2

=

2

2

-

2

4

x1．∴y₁=-1-2x₁．
联立方程组得

y1=-1-2x1 x12 2 +y12=1

，∴x₁=0或x1=-

8

9

．
当x₁=0时，M（

1

2

，-

1

2

），
∴圆M的方程为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

．
当x1=-

8

9

时，M（

1

18

，

7

18

），
所以圆M的方程为(x-

1

18

)2+(y-

7

18

)2=

169

162

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法及数学转化思想方法，考查了学生的运算能力，是有一定难度题目．