Question

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

 (Ⅰ) 求证：平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

Answer 1

解：证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，

又因为PA⊥平面ABCD.                                         

所以PA⊥BD. 又因为                          

所以BD⊥平面PAC.                                       

（Ⅱ）设AC∩BD=O.

因为∠BAD=60°，PA=AB=2,                                

所以BO=1，AO=CO=.                                   

以O为坐标原点，OB为X轴，OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz，则            

P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0）.

所以                           

设PB与AC所成角为，则

.                        

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

设P（0，－，t）（t>0），则                   设平面PBC的法向量,

则

所以取则所以 

同理，平面PDC的法向量                        

因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即

解得 ，所以PA=