Question

14．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．
（1）求甲和乙都不获奖的概率；
（2）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“甲和乙都不获奖”为事件A，由相互独立事件概率乘法公式能求出甲和乙都不获奖的概率．
（2）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 （满分12分）
解：（1）设“甲和乙都不获奖”为事件A，…（1分）
则P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{10}$，
∴甲和乙都不获奖的概率为$\frac{1}{10}$．…（5分）
（2）X的所有可能的取值为0，400，600，1000，…（6分）
P（X=0）=$\frac{3}{8}$，
P（X=400）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$•$\frac{3}{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=600）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{1}{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=1000）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{1}{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{3}{8}$，…（10分）
∴X的分布列为

X	0	400	600	1000
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

（11分）
∴E（X）=$0×\frac{3}{8}+400×\frac{1}{8}+600×\frac{1}{8}+1000×\frac{3}{8}$=500．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．