题目内容
【题目】已知M，N是平面
两侧的点，三棱锥
所有棱长是2，
，
，如图．
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面所成锐二面角的余弦．
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取线段
中点D，分别连结
，由平面几何的知识、线面垂直的判定
平面
，平面
，进而可得平面与平面重合，再由平面几何的知识可得四边形
是平行四边形，再由线面平行的判定即可得证；
（2）取线段
的中点O，连结
，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面
的一个法向量
、平面
的一个法向量
，再由
即可得解.
（1）证明：取线段中点D，分别连结，
由条件得
，
，
，
，
，
与
是平面内两相交直线，
与是平面内两相交直线，
平面，平面，
平面与平面重合，
，
，
四边形是平行四边形，即
．
平面，
平面，
平面；
（2）取线段的中点O，连结，
由（1）知，平面，
，
，
，
，
，
又
，
平面，
、
、两两垂直，
以过O平行的直线为x轴，分别以直线
为y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量
，
，不妨取
，得
，
又平面的一个法向量
，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦为．
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