Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求在上的最值；

（Ⅱ）若对一切，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）最大值1，最小值；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）当时， 求得函数的导数，得到函数的单调性和最值，即可求解；

（Ⅱ）由不等式的恒成立转化为求解函数的的最值，结合导数对分类讨论求，最后结合函数的单调性和性质，即可求解.

（Ⅰ）由函数，则，

当时， 可得

令，即，解得；

令，即，解得；

所以在递增，在递减，所以，

又，所以，

所以在上的最大值为1，最小值为.

（Ⅱ）由函数，则，解得，

又由，

因为，则，可得，

所以，

（i）当时，，所以在递增，

所以恒成立；

（ii）当时，

当时，单调递增；当时，单调递减，

所以，，，

所以，使得，

所以当时，；当是，，

所以在单调递减，在单调递增，

又因为，

所以，所以，即实数的取值范围是.