Question

如图在正方形ABCD－A₁B₁C₁D₁中，其棱长为1．

(1)求证：平面AB₁C∥平面A₁C₁D；

(2)求：平面AB₁C与平面A₁C₁D间的距离．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　在解答问题中要注意利用正方体中的线线平行、面面平行、线面垂直关系． 　　解答　　(1)证法一 　　AA1CC1AA1C1C为平行四边形 　　 　　平面AB1C∥平面A1C1D 　　本证法是从线线平行关系出发得证的． 　　证法二　　易知AA1和CC1确定一个平面AC1，于是， 　　A1C1∥AC 　　平面AB1C∥平面A1C1D 　　本证法是从面面平行关系出发得证的． 　　证法三　　连结BD1，BD 　　 　　平面AB1C∥平面A1C1D． 　　本证法是从线面垂直关系出发得证的，它的优点在于找到了两平行平面的一条公垂线，为解决下一问即计算两个平面之间的距离创造了条件． 　　(2)设BD1∩平面AB1C＝E， 　　BD1∩平面A1C1D＝F，BD∩AC＝O， 　　由(1)证法三可知，线段EF的长就是这两个平行平面的距离，连EO、DF， 　　∴OE∥DF，E是BF的中点，得BE＝EF， 　　同理，D1F＝FE，∴EF＝BD1 　　∵BD1＝，∴EF＝， 　　平面AB1C与平面A1C1D的距离为 　　评析　　求二平行平面之间距离，还可以利用体积法来解．