Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PMP平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（3）求二面角F-BD-A的正切值．

Answer 1

分析：（1）利用面面垂直的性质证明BC⊥平面ABEF，可得BC⊥EF，再证明EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得结论；
（2）存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE，证明PMNC为平行四边形，可得PM∥CN；
（3）作出二面角的平面角，再利用三角函数求解即可．

解答：（1）证明：因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF，所以BC⊥EF．
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°
又因为∠AEF=45°，所以∠FEB=90°，即EF⊥BE，
因为BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．
（2）解：存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面BCE．
 取BE的中点N，连接CN，MN，PM，则MN平行且等于

1

2

AB平行且等于PC，
所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN，
因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
所以PM∥平面BCE；
（3）解：由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD，
作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA，从而，FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH，因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角．
因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．
设AB=1，则AE=1，AF=

2

2

，FG=AF•sin∠FAG=

1

2

在Rt△FGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+

1

2

=

3

2

，GH=BG•sin∠GBH=

3

2

•

2

2

=

3 2

4

在Rt△FGH中，tanFHG=

FG

GH

=

2

3

，
故二面角F-BD-A的正切值为

2

3

．

点评：本题考查面面垂直、线面垂直、线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．