Question

12．已知${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展开式中，只有第3项的二项式系数最大，且展开式中含x²项的系数为a，则$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=$\frac{3}{2}$+ln3．

Answer 1

分析 由题意结合二项式系数的性质，可知二项展开式中仅有5项，则n可求，再根据二项式展开式的通项公式展开式中含x²项的系数为a，再根据定积分计算即可

解答 解：由于${（{\frac{5}{x}-\sqrt{x}}）^n}$展开式中第3项的二项式系数最大，可得n=4，
则通项为C₄^r5^4-r（-1）^r•x${\;}^{\frac{3r}{2}-4}$，
令$\frac{3r}{2}$-4=2，
解得r=4，
∴展开式中含x²项的系数为a=C₄⁴5^4-4（-1）⁴=1，
∴$\int_1^{2a}{\frac{{{x^2}+1}}{x}}dx$=${∫}_{1}^{2}$（x+$\frac{1}{x}$）dx=（$\frac{1}{2}$x+lnx）${\;}_{1}^{2}$=$\frac{3}{2}$+ln2，
故答案为：$\frac{3}{2}$+ln3．

点评 本题主要考查二项式定理的应用和定积分的计算，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．