Question

11．如图，空间几何体ADE-BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB=AD=DE=2，EF=4，M是线段AE上的动点．
（1）试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，平面MDF将几何体ADE-BCF分成两部分，求空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比．

Answer 1

分析 （1）当M是线段AE的中点时，连结CE交DF于N，连结MN，则MN∥AC，由此得到AC∥平面MDF．
（2）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF，由此利用割补法能求出空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比．

解答 解：（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF，证明如下：（1分）
连结CE交DF于N，连结MN，由于M、N分别是AE、CE的中点，
所以MN∥AC，又MN在平面MDF内，（4分）
所以AC∥平面MDF                                             （6分）
（2）将几何体ADE-BCF补成三棱柱ADE-B'CF，
三棱柱ADE-B'CF的体积为V=S_△ADE•CD=$\frac{1}{2}$×2×2×4=8（8分）
则几何体ADE-BCF的体积：
V_ADE-BCF=V_{三棱柱ADE-ECF}-V${\;}_{F-B{B}^{‘}C}$=8-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×2）×2=\frac{20}{3}$（10分）
又三棱锥F-DEM的体积V_{三棱锥F-DEM}=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2×4）×1=\frac{4}{3}$，（11分）
∴空间几何体M-DEF与空间几何体ADM-BCF的体积之比为：$\frac{4}{3}$：（$\frac{20}{3}-\frac{4}{3}$）=$\frac{1}{4}$（12分）

点评 本题考查满足线面垂直的点的位置的确定，考查两个几何体的体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．