Question

已知定义域为R的函数f（x）=a-

2

3x+1

（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的奇偶性的定义得到关于x的恒等式，从而求出参数a的值，或者利用特殊情况求出参数的值，再用函数奇偶性定义法进行证明；（2）本题可以运用函数单调性定义证明，得到本题结论；（3）利用已知指数函数的值域，求出原函数的值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
∴a=1．
下面证明a=1时f（x）=1-

2

3x+1

是奇函数，
∵f（-x）=1-

2

3-x+1

=1-

2•3x

1+3x

=-1+

2

1+3x

=-f（x），
∴f（x）=1-

2

3x+1

是R上的奇函数．
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．
（2）函数f（x）在R上的增函数．
证明：设x₁，x₂∈R且设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2

3x2+1

-

2

3x1+1

=

3(3x1-3x2)

(3x1+1)(3x2+1)

，
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2且（3 x1+1）（3 x2+1）＞0，
 则f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的增函数．
（3）f（x）=1-

2

3x+1

中
∵3^x+1∈（1，+∞），
∴

2

3x+1

∈(0，2)，
∴1-

2

3x+1

∈（-1，1）．
∴函数f（x）的值域为：（-1，1）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和函数的值域，本题难度不大，属于基础题．