Question

7．已知函数f（x）=log₂（x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-4）（x＞0，a≠0）的值域为R，求a的取值范围是[-2，0）∪（0，2]．

Answer 1

分析 函数f（x）的值域为（-∞，+∞），说明对数的真数取到所有的正数，由此可得（0，+∞）包含于真数对应对勾函数的值域，从而得到实数a的取值范围．

解答 解：令t=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$-4≥2$\sqrt{x•\frac{{a}^{2}}{x}}$-4=2|a|-4，
要使函数的值域是（-∞，+∞），
（0，+∞）⊆[2|a|-4，+∞）
只要2|a|-4≤0，
解得-2≤a≤2，
故a的取值范围是[-2，0）∪（0，2]，
故答案为：[-2，0）∪（0，2]

点评 本题着重考查了对数型函数的定义域和值域、函数的图象与性质等知识点，属于中档题．