Question

2．已知：x₁，x₂是方程x²-5x-2=0的两个实根
求：①（x₁-1）（x₂-1）；
②x₁²+x₂²；
③$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
④x₁-x₂；
⑤x₁³+x₂³．

Answer 1

分析 由根与系数的关系，得出x₁+x₂与x₁x₂的值，把题目中算式表示成x₁+x₂与x₁x₂的形式，即可求出结果．

解答 解：∵x₁，x₂是方程x²-5x-2=0的两个实根，
∴x₁+x₂=5，x₁x₂=-2；
∴①（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1
=-2-5+1
=-6；
②x₁²+x₂²=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x₁x₂
=5²-2×（-2）
=29；
③$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{2}}^{2}{{+x}_{1}}^{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=$\frac{29}{-2}$
=-$\frac{29}{2}$；
④x₁-x₂=±|x₁-x₂|
=±$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=±$\sqrt{{5}^{2}-4×（-2）}$
=±$\sqrt{33}$；
⑤x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（${{x}_{1}}^{2}$-x₁x₂+${{x}_{2}}^{2}$）
=（x₁+x₂）[${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-3x₁x₂]
=5×[5²-3×（-2）]
=155．

点评 本题考查了一元二次方程中根与系数的关系应用问题，是基础题目．