题目内容

已知点A（cosα，sinα），点B（cos（α+ $数学公式$ ），sin（α+ $数学公式$ ）），点C（1，0）．
（Ⅰ）若|CA|= $数学公式$ ，求α的值；
（Ⅱ）若α∈（ $数学公式$ ），求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）若|CA|= $\text{[math]}$ ，则有（cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=- $\text{[math]}$ ，∴α=2kπ+ $\text{[math]}$ ，或α=2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ =（cosα-1，sinα）•（cos（α+ $\text{[math]}$ ）-1，sin（α+ $\text{[math]}$ ））=（cosα-1）[cos（α+ $\text{[math]}$ ）-1]+sinα•sin（α+ $\text{[math]}$ ）
=（cosα-1）（ $\text{[math]}$ cosα- $\text{[math]}$ sinα-1）+sinα（ $\text{[math]}$ sinα+ $\text{[math]}$ cosα）= $\text{[math]}$ cos²α- $\text{[math]}$ sinαcosα-cosα- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ sin²α+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ cosα+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sinα- $\text{[math]}$ cosα）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin（α- $\text{[math]}$ ），
而由α∈（ $\text{[math]}$ ），可得 α- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，∴- $\text{[math]}$ ≤sin（α- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，∴- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ sin（α- $\text{[math]}$ ）≤ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的取值范围是[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
分析：（Ⅰ）由|CA|= $\text{[math]}$ ，可得（cosα-1）²+sin²α=3，化简可得cosα=- $\text{[math]}$ ，由此求得 α 的值．
（Ⅱ）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简 $\text{[math]}$ 的解析式为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ sin（α- $\text{[math]}$ ），由α∈（ $\text{[math]}$ ），可得 α- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，再根据正弦函数的定义域和值域求得 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．