Question

已知点A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O为坐标原点，
（1）若α=

π

6

时，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解，求实数λ的取值范围；
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）|

AB

|≥2|

OB

|有解，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4（2分）
等价于：λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4，代入α=

π

6

得：λ²≥3（4分）
即    λ∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)（6分）
（2）|

AB

|≥2|

OB

|对任意的实数α恒成立，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4对任意的实数α恒成立，即λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4对任意的实数α恒成立     （8分）
所以

λ＞0 λ2-2λ+1≥4

或

λ＜0 λ2+2λ+1≥4

（12分）
解得：λ≥3或λ≤-3．故所求实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．（14分）