Question

已知点A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O为坐标原点，
（1）若α=

π

6

时，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解，求实数λ的取值范围；
（2）若|

AB

|≥2|

OB

|对任意实数α恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于本题中已知点A（λcosα，λsinα）（λ≠0），B(

1

2

，-

3

2

)，O为坐标原点，不等式|

AB

|≥2|

OB

|有解即存在这样的参数使得不等式成立，这是一个存在性问题，故通过向量的模的表达公式转化为关于参数λ的不等式有解的问题，解出它的取值范围；
（2）相比（1）本小题是一个恒成立问题，可将不等式进行化简，利用三角函数的有界性转化为关于参数λ的不等式；

解答：解：（1）|

AB

|≥2|

OB

|有解，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4（2分）
等价于：λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4，代入α=

π

6

得：λ²≥3（4分）
即    λ∈(-∞，-

3

]∪[

3

，+∞)（6分）
（2）|

AB

|≥2|

OB

|对任意的实数α恒成立，即(λcosα-

1

2

)2+(λsinα+

3

2

)2≥4对任意的实数α恒成立，即λ2+1+2λsin(α-

π

6

)≥4对任意的实数α恒成立     （8分）
所以

λ＞0 λ2-2λ+1≥4

或

λ＜0 λ2+2λ+1≥4

（12分）
解得：λ≥3或λ≤-3．故所求实数λ的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．（14分）

点评：本题是一个向量综合题，本题考查了存在性问题与恒成立问题，解此类题关键是对存在问题与恒成立问题进行转化，理解这类问题的逻辑关系是正确转化的关键，此类题是高中数学的难点，也是容易互相混淆的题，熟练掌握向量模的坐标表示公式是本题转化的知识保证，本题比较抽象，考查了推理判断能力以及计算能力，转化化归的思想，思维有深度，是高中数学中较易出错的难题