题目内容
已知
满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x有且只有一个．（1）求f（x）的表达式；
（2）数列{an}满足：
，证明：{bn}为等比数列．（3）在（2）的条件下，若
，求证：
．
【答案】分析：（1）由f（x）=
，知
，由此能求出f（x）的表达式．
（2）由bn+1=2bn，能够证明{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由bn=2n，知Cn=
，所以C2k+C2k+1=
＜
．由此能够证明Sn＜
．
解答：解：（1）∵f（x）=
，
∴
，
∴
（2）证明：∵
，
∴
，
bn+1=2bn，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵bn=2n，
∴Cn=
∴C2k+C2k+1=
＜
∴n为奇数时，Sn=C1+（C2+C3）+…+（Cn-1+Cn）＜1+
=1+
=
＜
n为偶数时，Sn＜Sn+1＜
综合以上，Sn＜
点评：本题考查函数与数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
，知
，由此能求出f（x）的表达式．（2）由bn+1=2bn，能够证明{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由bn=2n，知Cn=
，所以C2k+C2k+1=
＜
．由此能够证明Sn＜
．解答：解：（1）∵f（x）=
，∴
，∴
（2）证明：∵
，∴
，bn+1=2bn，
∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）∵bn=2n，
∴Cn=
∴C2k+C2k+1=
＜
∴n为奇数时，Sn=C1+（C2+C3）+…+（Cn-1+Cn）＜1+
=1+
=
＜
n为偶数时，Sn＜Sn+1＜
综合以上，Sn＜
点评：本题考查函数与数列的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
练习册系列答案
提分百分百检测卷系列答案
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满足ax·f(x)=2bx+f(x), a≠0, f(1)=1且使
成立的实数x有且只有一个.
的表达式;
满足：
, 证明：
为等比数列.
, 求证:
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，证明：{bn}为等比数列．
，求证：
．
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．