题目内容

数列{an}满足

(Ⅰ)当a2＝－1时，求λ及a3的值；

(Ⅱ)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；

(Ⅲ)求λ的取值范围，使得存在正整数m，当n＞m时总有an＜0．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)由于且a1＝1，

　　所以当a2＝－1时，得，

　　故

　　从而

　　(Ⅱ)数列{an}不可能为等差数列．证明如下：

　　由a1＝1，得

　　

　　若存在，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即

　　

　　解得＝3．

　　于是

　　这与{an}为等差数列矛盾，所以，对任意，{an}都不可能是等差数列．

　　(Ⅲ)记根据题意可知，b1＜0且，即＞2且N*)，这时总存在N*，满足：当n≥n0时，bn＞0；当n≤n0－1时，bn＜0．

　　所以由an＋1＝bnan及a1＝1＞0可知，若n0为偶数，则，从而当n＞n0时an＜0；若n0为奇数，则，从而当n＞n0时an＞0．

　　因此“存在mN*，当n＞m时总有an＜0”的充分必要条件是：no为偶数，

　　记no＝2k(k＝1，2，…)，则满足

　　

　　故的取值范围是4k2＋2k(kN*)．


练习册系列答案
相关题目
（2011•西城区二模）数列{an}满足a1=1，an+1=
n-λn+1
an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N*，ai＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N*），aiai+1＜0；
③?λ∈R，m∈N*，当i＞m（i∈N*）时总有ai＜0．
其中正确的命题是
①③
①③
．（写出所有正确命题的序号）
已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=（　　）
数列{an}满足an=3an-1+3n-1（n∈N*，n≥2），
已知a3=95．
（1）求a1，a2；
（2）是否存在一个实数t，使得bn=
13n
(an+t)(n∈N*)，且{bn}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又数列{an}满足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）证明：f（x）在（-1，1）上是奇函数
（ II ）求f（an）的表达式；
（III）设bn=-
1
2f(an)
，Tn为数列{bn}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得
4Tn-m
4Tn+1-m
＜
1
2
成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为R，f(x)=
1
f(-x)
，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N*)；
（1）求{an}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．

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