Question

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
已知a₃=95．
（1）求a₁，a₂；
（2）是否存在一个实数t，使得bn=

1

3n

(an+t)(n∈N*)，且{b_n}为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将已知的递推关系中的n分别用2，3代替，列出方程组，求出a₁，a_2．
（2）求出b_n-b_n-1，令1+2t=0求出t的值，保证相邻两项的差为常数，解方程求出t的值．

解答：解：（1）n=2 时，a₂=3a₁+3²-1．
n=3 时，a₃=3a₂+3³-1=95，
∴a₂=23
∴23=3a₁+8
a₁=5．…6分
（2）当n≥2 时
b_n-b_n-1=

1

3n

(an+t)-

1

3n-1

(an-1+t)=

1

3n

(an+t-3an-1-3t）
=

1

3n

(3n-1-2t)=1-

1+2t

3n

要使{b_n} 为等差数列，则必需使，∴t=-

1

2

即存在t=-

1

2

，使{b_n} 为等差数列．…13分

点评：判断或证明一个数列是等差数列或等比数列，常利用两个特殊数列的定义即相邻两项的差或比是常数．