题目内容
已知平面向量
=(1，4)，
=(-1，6)，向量
=2λ
+2(1-λ)
，λ∈R，O为坐标原点，
（1）求当
⊥
时，
的坐标；
（2）当|
|取最小值时，求
与
的夹角．
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
（1）求当
| OP |
| AB |
| OP |
（2）当|
| OP |
| OP |
| AB |
分析：由已知可求
=2λ
+2(1-λ)
，
=
-
，
（1）由
⊥
可得
•
=0，可求λ，进而可求
（2）
=（4λ-2，12-4λ）可得|
|=
=
，根据二次函数性质可求|
|取最小值时的λ，代入向量的夹角公式cos＜
，
＞=
可求
| OP |
| OA |
| OB |
| AB |
| OB |
| OA |
（1）由
| OP |
| AB |
| OP |
| AB |
| OP |
（2）
| OP |
| OP |
| (4λ-2)2+(12-4λ)2 |
| 32λ2-112λ+148 |
| OP |
| OP |
| AB |
| ||||
|
|
解答：解：∵
=(1，4)，
=(-1，6)，
∴
=2λ
+2(1-λ)
=（2λ，8λ）+（2λ-2，12-12λ）=（4λ-2，12-4λ）
=
-
=（-2，2）
（1）∵
⊥
∴
•
=-8λ+4+24-8λ=0
∴λ=
，
=(5，5)
（2）∵
=（4λ-2，12-4λ）
∴|
|=
=
根据二次函数的性质可知，当λ=
时，|
|取最小值时
此时，
=（5，5），
=（-2，2）
∴cos＜
，
＞=
=0，即夹角为90°
| OA |
| OB |
∴
| OP |
| OA |
| OB |
| AB |
| OB |
| OA |
（1）∵
| OP |
| AB |
∴
| OP |
| AB |
∴λ=
| 7 |
| 4 |
| OP |
（2）∵
| OP |
∴|
| OP |
| (4λ-2)2+(12-4λ)2 |
| 32λ2-112λ+148 |
根据二次函数的性质可知，当λ=
| 7 |
| 4 |
| OP |
此时，
| OP |
| AB |
∴cos＜
| OP |
| AB |
| ||||
|
|
点评：本题主要考查了向量的坐标表示的基本运算，向量的数量积的坐标表示及夹角公式的应用．
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