题目内容

已知平面向量
OA
与
OB
的夹角θ∈[60°，120°]，且|
OA
|=|
OB
|=3，若
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，则
|OP|
的取值范围是
[
3
，
7
]
[
3
，
7
]
．
分析：根据向量
OA
与
OB
的模长和夹角的范围，结合数量积公式得
OA
•
OB
的取值范围．再将向量
OP
平方，由数量积
OA
•
OB
的取值范围得
OP
2的范围，最后开方即可得到，
|OP|
的取值范围．
解答：解：∵
OA
•
OB
=
|OA|
•
|OB|
cosθ=9cosθ，cosθ∈[cos120°，cos60°]，
∴
OA
•
OB
的取值范围是[-
9
2
，
9
2
]
∵
OP
=
1
3
OA
+
2
3
OB
，
∴
|OP|
2=(
1
3
OA
+
2
3
OB
)2=
1
9
OA
2+
4
9
OA
•
OB
+
4
9
OB
2=1+
4
9
OA
•
OB
+4=5+
4
9
OA
•
OB

∵
OA
•
OB
∈[-
9
2
，
9
2
]，
∴当
OA
•
OB
=-
9
2
时，
|OP|
2有最小值3；当
OA
•
OB
=
9
2
时，
|OP|
2有最大值7
因此，
|OP|
的最小值是
3
，最大值为
7

故答案为：[
3
，
7
]
点评：本题给出两个向量的长度和夹角的范围，求它们的一个线性组合的长度取值范围，考查了平面向量数量积、模与夹角的公式等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面直角坐标系中，点O为原点，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求
AB
的坐标及|
1
2
BC
|；
（2）若
OE
=
OA
+
OB
，  
OF
=
OA
-
OB
，求
OE
•
OF
；
（3）求向量
DB
与
DC
夹角的余弦值．
下列命题中，正确的是
①②③
①②③

①平面向量
a
与
b
的夹角为60°，
a
=（2，0），|
b
|=1，则|
a
+
b
|=
7
；
②已知
a
=（sinθ，
1+cosθ
），
b
=（1，
1-cosθ
）其中θ∈（π，
3π
2
）则
a
⊥
b
；
③O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
OP
=
OA
+λ（
AB
sinC
+
AC
sinB
），λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．
已知平面向量
OA
=(1，4)，
OB
=(-1，6)，向量
OP
=2λ
OA
+2(1-λ) 
OB
，λ∈R，O为坐标原点，
（1）求当
OP
⊥
AB
时，
OP
的坐标；
（2）当|
OP
|取最小值时，求
OP
与
AB
的夹角．
已知对任意平面向量
AB
=(x，y)，将
AB
绕其起点沿顺时针方向旋转θ角得到向量
AP
=(xcosθ+ysinθ，-xsinθ+ycosθ)，叫做将点B绕点A沿顺时针方向旋转θ角得到点P．
（1）已知平面内点A（1，2），点B(1+
2
，2-2
2
)，将点B绕点A沿顺时针方向旋转
π
4
得到点P，求点P的坐标；
（2）设平面内曲线3x2+3y2+2xy=4上的每一点绕坐标原点O沿顺时针方向旋转
π
4
得到的点的轨迹是曲线C，求曲线C的方程；
（3）过（2）中曲线C的焦点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B，当
OA
•
OB
=0时，求△AOB的面积．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网