Question

12．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，bcosC=3acosB-ccosB．
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若△ABC的面积是$2\sqrt{2}$，且$b=2\sqrt{2}$，求a和c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinA=3sinAcosB，结合sinA≠0，可求cosB的值．
（Ⅱ）由三角形面积公式可求ac=6，利用余弦定理可求a²+c²=12，联立即可解得a，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，…（2分）
所以sin（B+C）=3sinAcosB，
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．
所以sinA=3sinAcosB，
因为sinA≠0，
所以cosB=$\frac{1}{3}$；…（6分）
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}acsinB=2\sqrt{2}$，
由（Ⅰ）知cosB=$\frac{1}{3}$，可得：$sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
所以ac=6，…（8分）
又因为b²=a²+c²-2accosB，即8=a²+c²-4，
所以a²+c²=12，②，
由①②式解得a=c=$\sqrt{6}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．