Question

（本题满分13分）已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1），；（2）存在；。

【解析】

试题分析：（1）用基本量法，即用和表示条件即可求数列的通项公式；由时，可得到数列是一等比数列，进一步可求其通项公式；

（2）用公式直接求，用错位相减法求数列的前项公式，计算与比较大小求出的最小值即可.

试题解析：（1）设数列的公差为，依条件有，

即，解得（舍）或，

所以. 2分

由，得，

当时，，解得，

当时，，

所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

故. 5分

（2）由（1）知，，

所以 ①

②

得. 9分

又.

所以，

当时，，

当时，，所以，

故所求的正整数存在，其最小值是2. 13分

考点：等差、等比数列的定义和性质，错位相减法、不等式恒成立问题。