设椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点为F1.F2.过点F1的直线与椭圆C相交于A.B两点.若$\overrightarrow{A{F} {1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F} {1}B}$.∠AF2B=90°.则椭圆C的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{5}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

1．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，过点F₁的直线与椭圆C相交于A，B两点，若$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，∠AF₂B=90°，则椭圆C的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

分析由条件可设|BF₁|=2t，|AF₁|=3t，由椭圆的定义，可得|AF₂|=2a-3t，|BF₂|=2a-2t，运用勾股定理，可得t=$\frac{1}{3}$a，求出cosB，△F₁BF₂中，运用余弦定理和离心率公式计算即可得到所求值．

解答解：由$\overrightarrow{A{F}_{1}}$=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{{F}_{1}B}$，可设|BF₁|=2t，|AF₁|=3t，
由椭圆的定义，可得|AF₂|=2a-3t，|BF₂|=2a-2t，
由∠AF₂B=90°可得|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²，
即有（5t）²=（2a-3t）²+（2a-2t）²，
解得t=$\frac{1}{3}$a，|AB|=$\frac{5}{3}$a，|BF₂|=$\frac{4}{3}$a，
在△ABF₂中，cosB=$\frac{|B{F}_{2}|}{|AB|}$=$\frac{4}{5}$，
在△F₁BF₂中，cosB=$\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}+\frac{16}{9}{a}^{2}-4{c}^{2}}{2•\frac{2}{3}a•\frac{4}{3}a}$=$\frac{4}{5}$，
化简可得$\frac{9}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{9}{20}$，
即e²=$\frac{1}{5}$，即为e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，三角形的勾股定理和余弦定理，考查向量共线定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

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