Question

（本小题满分14分）已知：以点C (t, )(t∈R , t≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，
与y轴交于点O, B，其中O为原点．
（Ⅰ）当t=2时，求圆C的方程；
（Ⅱ）求证：△OAB的面积为定值；
（Ⅲ）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若，求圆C的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

本试题主要是考查了圆的方程，以及直线与圆的位置关系、三角形的面积公式的综合运用，
（1）因为点C (t, )(t∈R , t≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，
与y轴交于点O, B，其中O为原点当t=2得到圆心和半径得到结论。
（2）因为圆心过原点，满足半径的平方式t的表达式，然后得到圆的方程的表示， 然后令x=0,y=0，得到三角形的边长得到面积。
（3）根据设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，以及|OM|=|ON|，说明MN的垂直平分线是OC，然后利用垂直的斜率关系得到OC的斜率，从而得到方程。然后利用线与圆相交，得到结论。
解 ：（Ⅰ）圆的方程是  
（Ⅱ），．设圆的方程是 
令，得；令，得
，即：的面积为定值．
（Ⅲ）垂直平分线段．
，直线的方程是．，解得：   
当时，圆心的坐标为，，   此时到直线的距离，
圆与直线相交于两点．   
当时，圆心的坐标为，，此时到直线的距离
圆与直线不相交，不符合题意舍去．
圆的方程为．