题目内容
已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为Sn，且
，
，
成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及Sn；
（Ⅱ）记An=
+
+
+…+
，Bn=
+
+…+
，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．
【答案】分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，利用等比中项的性质，建立等式求得d，则数列的通项公式和前n项的和可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（
）2=
•
，
得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a
所以an=na，Sn=
（Ⅱ）解：∵
=
（
-
）
∴An=
+
+
+…+
=
（1-
）
∵
=2n-1a，所以
=
=
为等比数列，公比为
，
Bn=
+
+…+
=
•
=
•（1-
）
当n≥2时，2n=Cn+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1-
＜1-
所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．
点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的an和Sn，代入不等式，利用裂项法和等比数列的求和公式整理An与Bn，最后对a＞0和a＜0两种情况分情况进行比较．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由（
）2=
•
，得（a1+d）2=a1（a1+3d），因为d≠0，所以d=a1=a
所以an=na，Sn=
（Ⅱ）解：∵
=
（
-
）∴An=
+
+
+…+
=
（1-
）∵
=2n-1a，所以
=
=
为等比数列，公比为
，Bn=
+
+…+
=
•
=
•（1-
）当n≥2时，2n=Cn+Cn1+…+Cnn＞n+1，即1-
＜1-
所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn．
点评：本题主要考查了等差数列的性质．涉及了等差数列的通项公式，求和公式以及数列的求和的方法，综合考查了基础知识的运用．
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