Question

（2012•黄州区模拟）已知公差不为0的等差数列{a_n}的前3项和S₃=9，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的求和公式可得a₁+d=3，由a₁，a₂，a₅成等比数列，可得a1(a1+4d)=(a1+d)2，从而可求a₁，d，从而可求
（2）由

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项可求数列的和T_n，然后由T_n≤λa_n+1得λ≥

n

(2n+1)2

=

1

4n+ 1 n +4

，只要求

1

4n+ 1 n +4

的最大值即可求出λ的范围

解答：解：（1）由S₃=9，可得3a₁+3d=9即a₁+d=3①（2分）
∵a₁，a₂，a₅成等比数列．
∴a1(a1+4d)=(a1+d)2②；
联立①②得a₁=1，d=2；…（4分）
故a_n=2n-1，Sn=n2…（6分）
（2）∵

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（8分）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

…（10分）
由T_n≤λa_n+1得：

n

2n+1

≤λ(2n+1)
∴λ≥

n

(2n+1)2

=

1

4n+ 1 n +4

令f（n）=

1

4n+ 1 n +4

，
∵f（n）单调递增，
∴f（n）≤

1

9

即λ≥

1

9

…（12分）

点评：本题考查的重点是数列的通项与求和，解题的关键是利用等差数列与等比数列的定义，利用裂项法求和．