Question

18．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosα•t}\\{y=sinα•t}\end{array}$（t为参数，α为直线l的倾斜角），曲线C的极坐标方程为ρ²-10ρcosθ+17=0．
（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（2）当α=$\frac{π}{6}$时，设P（1，0），若直线l与曲线C有两个交点是A，B，求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）圆的普通方程为x²-10x+y²+17=0，将直线l的参数方程代入得：t²-8tcosα+8=0，利用△=（8cosα）²-32≥0，即可求α的取值范围；
（2）利用参数的几何意义求解即可．

解答 解：（1）圆的普通方程为x²-10x+y²+17=0，将直线l的参数方程代入得：t²-8tcosα+8=0①，
△=（8cosα）²-32≥0⇒${cos^2}α≥\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤cosα≤1$或$-1＜cosα≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴α的取值范围为：$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$；
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
由①知$α=\frac{π}{6}$时，将①化为${t^2}-4\sqrt{3}t+8=0，{t_1}+{t_2}=4\sqrt{3}，{t_1}{t_2}=8$，
所以：$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

点评 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．