题目内容
8．已知命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解．若p∧q是假命题，￢p也是假命题，求实数a的取值范围．分析 由命题p：x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根，不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，由p∧q是假命题，￢p也是假命题，得P为真命题，q为假命题，取交集得答案．
解答 解：∵x1，x2是方程x2-mx-2=0的两个实根
∴x1+x2=m，x1x2=-2，
∴|x1-x2|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{{m}^{2}+8}$，
∴当m∈[-1，1]时，|x1-x2|max=3，
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．
可得：a2-5a-3≥3，∴a≥6或a≤-1，
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1．
命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解．
①当a＞0时，显然有解；
②当a=0时，2x-1＞0有解；
③当a＜0时，∵ax2+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
从而命题q：不等式ax2+2x-1＞0有解时a＞-1．
由p∧q是假命题，￢p也是假命题，得P为真命题，q为假命题，
则a≤-1．
点评 本题考查命题的真假判断与应用，求解本题关键是对p条件中恒成立问题的正确转化以及命题q正确时a的取值范围的确定，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查推理与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
应用题作业本系列答案
相关题目
16．已知F1，F2分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=5：12：13，则双曲线的离心率为（ ）
| A． | $\sqrt{13}$ | B． | $\sqrt{41}$ | C． | $\sqrt{15}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
19．已知函数y=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）满足f（-x）=-f（x），其图象与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为x1、x2，|x1-x2|的最小值为π，则（ ）
| A． | ω=2，φ=$\frac{π}{4}$ | B． | ω=2，φ=$\frac{π}{2}$ | C． | ω=1，φ=$\frac{π}{2}$ | D． | ω=1，φ=$\frac{π}{4}$ |
16．直线l1：ax+y-3=0，l2：x+by-c=0，则ab=1是l1∥l2的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
3．已知a为锐角，且7sinα=2cos2α，则sin（α+$\frac{π}{3}$）=（ ）
| A． | $\frac{{1+3\sqrt{5}}}{8}$ | B． | $\frac{{1+5\sqrt{3}}}{8}$ | C． | $\frac{{1-3\sqrt{5}}}{8}$ | D． | $\frac{{1-5\sqrt{3}}}{8}$ |