Question

设函数f（x）=mx²-mx-6+m．
（1）若对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

（1）f（x）＜0即mx²-mx-6+m＜0，可得m（x²-x+1）＜6
∵当x∈[1，3]时，x²-x+1∈[1，7]
∴不等式f（x）＜0等价于m＜

6

x2-x+1

∵当x=3时，

6

x2-x+1

的最小值为

6

7

∴若要不等式m＜

6

x2-x+1

恒成立，则m＜

6

7

，
即实数m的取值范围为（-

6

7

，+∞）
（2）由题意，f（x）=g（m）=m（x²-x+1）-6
g（m）是关于m的一次函数
因此若对于m∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，
则

g(-2)=-2(x 2-x+1)-6＜0 g(2)=2(x 2-x+1)-6＜0

，解之得-1＜x＜2，
即实数x的取值范围为（-1，2）．