Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是椭圆．从而写出其方程即可；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系及向量垂直的条件，求出k值即可，最后通牒利用弦长公式即可求得此时的值，从而解决问题．
解答：解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足
消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故．（6分）
，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是．
所以时，x₁x₂+y₁y₂=0，故．（8分）
当时，，．，
而（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=，
所以．（12分）
点评：本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．