Question

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．

(1) 求实数的值；

(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；

(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？

Answer 1

（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。

∵是以为直角顶点的直角三角形

∴，即 （*）                      ……11分

是否存在等价于方程（*）是否有解。