题目内容

已知直线l过点P（1，1），并与直线l₁：x-y+3=0和l₂：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．
求：
（1）直线l的方程；
（2）以O为圆心且被l截得的弦长为 $数学公式$ 的圆的方程．

解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解得m=-1，n=2．
即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即：x+2y-3=0．
（2）圆心（0，0）到直线l的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设圆的半径为R，则由 $\text{[math]}$ ，
求得R²=5，故所求圆的方程为x²+y²=5．
分析：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l₁和l₂的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．
（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由 $\text{[math]}$ ，求得R的值，即可求出圆的方程．
点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．