Question

已知直线l过点P（1，0），且l与曲线y=x³和y=ax2+

15

4

x-9都相切，求a的值．

Answer 1

分析：当l与y=x³，相切时，设切点坐标为（x₀，x₀³），利用导数几何意义得出l的方程，结合P在上，解得x₀和l的方程．下面就直线l的方程的两种情形分别求出a值即可．

解答：解：当l与y=x³，相切时，设切点坐标为（x₀，x₀³），则l的方程可表示为y-x₀³=3x₀²（x-x₀）
∵P在上，
∴3x₀²（1-x₀）=-x₀³
解得x₀=0与x₀=

3

2

即l的方程为y=0与y=

27

4

x-

27

4

当l的方程为y=0时，由2ax+

15

4

=0得x=-

15

8a

∴y=a（-

15

8a

）2+

15

4

（-

15

8a

-9）=0
解得a=-

25

64

当的方程为y=

27

4

x-

27

4

时，由2ax+

15

4

=

27

4

   
得x=

3

2a

∴切点坐标为（

3

2a

，

63

8a

-9）代入y=

27

4

得x-

27

4

得a=-1 
故所求a的值为a=-

25

64

与a=-1．

点评：本小题主要考查直线方程的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．