Question

已知过点P（1，2）的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：
（1）y轴上的截距是x轴上的截距的两倍时直线的方程；
（2）|PA|•|PB|取最小值时直线的方程．

Answer 1

分析：（1）设所求直线的方程为

x a + y 2a =1

，代入点P的坐标可解得a的值，可得方程；（2）设所求直线的方程为y-2=k（x-1），由题意知k＜0，分别令x=0，y=0可得A、B的坐标，进而可得|PA|²•|PB|²的表达式，由基本不等式可得．

解答：解：（1）设所求直线的方程为

x a + y 2a =1

，
即2x+y-2a=0，
∵直线过点P（1，2），
∴2×1+2-2a=0，
解得a=2，
∴所求直线的方程为2x+y-4=0
（2）设所求直线的方程为y-2=k（x-1），由题意知k＜0，
令x=0可得y=2-k，令y=0可得x=1-

2

k

，
即A（1-

2

k

，0），B（0，2-k）
∴|PA|²•|PB|²=[(-

2

k

)2+4][1+（-k）²]
=8+4k2+

4

k2

≥8+2

4k2• 4 k2

=16
当且仅当4k2=

4

k2

，即k=-1时取等号，
∴|PA|•|PB|取最小值4时，直线的方程为x+y-3=0

点评：本题考查直线的截距式方程，涉及基本不等式的应用．