Question

已知cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=

1

3

，α∈(

3π

2

，2π)求sin2α和cos

α

2

的值．

Answer 1

分析：先根据两角差的余弦公式求出cosα；结合α的范围以及同角三角函数之间的关系求出sinα即可得到sin2α；最后结合二倍角公式的变形形式即半角公式即可求出cos

α

2

．

解答：解：∵cosα=cos[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

1

3

；
又因为：α∈（

3π

2

，2π），得到

α

2

∈（

3π

4

，π）；
∴sinα=-

1-cos 2α

=-

2 2

3

；
∴sin2α=2sinαcosα=-

4 2

9

．
cos

α

2

=-

1+cosα 2

=-

6

3

．

点评：本题主要考查三角公式的应用．解决这类问题的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．