Question

关于x的不等式a•|x|+x²+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：当x=0时，a•|x|+x²+1-1≥0恒成立，当x≠0时，a•|x|+x²+1≥0恒成立?a≥-|x|-

1

|x|

恒成立，利用基本不等式求出-|x|-

1

|x|

的最大值，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：当x=0时，a•|x|+x²+1-1≥0恒成立，
当x≠0时，a•|x|+x²+1≥0恒成立?a≥-|x|-

1

|x|

恒成立，
∵|x|+

1

|x|

≥2

|x|• 1 |x|

=2，
∴-|x|-

1

|x|

≤-2，
∴a≥-2，
故实数a的取值范围为：[-2，+∞），
故答案为：[-2，+∞）

点评：本题考查的知识点是基本不等式，恒成立问题，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答的关键．