Question

求函数f（x）=ln（1+x）-

1

4

x²在[0，2]上的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：要求函数在区间的最值，求出导函数令其为零得到驻点，然后分区间讨论函数的增减性，求出函数的极大值，考虑闭区间两个端点对应的函数值的大小，最后判断出最大值和最小值即可．

解答： 解：因为f（x）=ln（1+x）-

1

4

x²，所以f（x）=

1

1+x

-

1

2

x，
令

1

1+x

-

1

2

x=0，化简为x²+x-2=0，解得x₁=-2（舍去），x₂=1．
当0≤x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调增加；
当1＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调减少．
所以f（1）=ln2-

1

4

为函数f（x）的极大值．
又因为f（0）=0，f（2）=ln3-1＞0，f（1）＞f（2），
所以f（0）=0为函数f（x）在[0，2]上的最小值，f（1）=ln2-

1

4

为函数f（x）在[0，2]上的最大值．
故答案为：ln2-

1

4

，0

点评：本小题主要考查函数的导数计算，利用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小值以及综合运算能力．