题目内容
【题目】已知数列
中，
.
（1）是否存在实数
，使数列
是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若
是数列
的前
项和，求满足
的所有正整数.
【答案】(1) 存在实数
，使数列
是等比数列，过程见解析.
(2) 满足
的所有正整数
为1和2.
【解析】试题分析：（1）设bn=a2n﹣λ，依题意，可得
若数列{a2n﹣λ}是等比数列，则必须
（常数）；（2）由（1）得{bn}是以﹣
为首项，
为公比的等比数列，于是a2n﹣1+a2n=
，利用分组求和的方法，分别用等比数列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得S2n，分n=1与2讨论，计算即可得到答案．
详解：
（1）设
，因为
若数列
是等比数列，则必须有（常数），
即
，即
，
此时
所以存在实数，使数列是等比数列.
（2）由（1）得
是以
为首项，为公比的等比数列
故
，即
由
，得
，
所以
，
显然当
时，
单调递减，
又当
时，
，当
时，
，所以当
时，
；
，
同理，当且仅当时，
综上，满足的所有正整数为1和2.
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为27 cm及以上的树苗为优质树苗．
（1）求图中a的值；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：
A试验区 | B试验区 | 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；
（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取4棵，其中优质树苗的棵数为X，求X的分布列和数学期望EX．
下面的临界值表仅供参考：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式：
，其中
．）
