Question

【题目】如图是一个“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中是过抛物线的两条互相垂直的弦（点在第二象限），且交于点，点为轴上一点，，其中为锐角

（1）设线段的长为，将表示为关于的函数

（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时的大小

Answer 1

【答案】（1）（2）“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.

【解析】

（1）过点作轴于点,,在中利用三角函数的定义可得,,即点的坐标为,代入抛物线的方程,可得关于的函数.

（2）由题意结合图形,可由逆时针旋转得到,即可得到关于的函数,进而可得“蝴蝶形图案”面积关于的函数,换元后利用配方法求其面积的最小值.

（1）过点作轴于点,

在中,

即:，

由此可得点的坐标为

点是抛物线上的点,将其代入可得:

,即:

解得:

故:

表示为关于的函数为:

（2）根据（1）得: 表示为关于的函数为:

由题意可知:

可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.

可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.

可由逆时针旋转得到,其与正半轴夹角为.

, ,

设“蝴蝶形图案”面积为:

令:

为锐角

则 可得:

则,

故时, 即:

化简为: (为锐角)解得:

综上所述:“蝴蝶形图案”面积的最小值为,取最小值时.