Question

【题目】已知函数.

（1）若，求证：函数有极值；

（2）若，且函数与的图象有两个相异交点，求证：.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）求导数，函数g′（x）有两个零点，则可设为g′（x）=a（x﹣α）（x﹣β），利用零点存在定理，即可证明结论；（2）记h（x）=ex﹣cx﹣c，则h′（x）=ex﹣c，由函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个相异交点知函数h（x）有两互异零点，即可得出结论．

详解：（1）得，

∵，∴且

∴函数有两个零点，则可设为，（）

∴若，则

∴有极值.

（2）由，得，记，

则，

由函数与的图象有两个相异交点知函数有两互异零点

若单调递增，则最多1个零点，矛盾

∴，此时，令，则，列表：

∴，∴.