Question

若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n，b_n∈N^*）．
（1）求a₄+b₄的值；
（2）证明：bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

；
（3）若[x]表示不超过x的最大整数．试证：当n为偶数时，[(1+

2

)n]=2bn-1．当n为奇数时，上述结果是否依然成立？如果不成立，请用b_n表示[(1+

2

)n]（不必证明）

Answer 1

分析：（1）将(1+

2

)n展开后合并同类项，即可即可求得a₄+b₄的值．
（2））将(1+

2

)n，(1-

2

)n 展开后两式相加，便可证明．注意展开式中各项的符号．
（3）在（2）的基础上，2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n，当n为偶数时，0＜(1-

2

)n＜1，则有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn．

解答：解：（1）(1+

2

)4=

C

0 4

+

C

1 4

•

2

+

C

2 4

(

2

)2+

C

3 4

(

2

)3+

C

4 4

(

2

)4=12

2

+17，
所以a₄=12，b₄=17，a₄+b₄=29．                               …（3分）
（2）当n为偶数时，(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

2

+

C

2 n

(

2

)2+…+

C

n n

(

2

)n，bn=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n n

(

2

)n，
而(1-

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(-

2

)+

C

2 n

(-

2

)2+…+

C

n n

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n n

(

2

)n]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                  …（6分）
当n为奇数时，(1+

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•

2

+

C

2 n

(

2

)2+…+

C

n n

(

2

)n，bn=

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n-1 n-1

(

2

)n-1，
而(1-

2

)n=

C

0 n

+

C

1 n

•(-

2

)+

C

2 n

(-

2

)2+…+

C

n n

(-

2

)n，(1+

2

)n+(1-

2

)n=2[

C

0 n

+

C

2 n

(

2

)2+

C

4 n

(

2

)4+…+

C

n-1 n-1

(

2

)n-1]，
所以bn=

(1+ 2 )n+(1- 2 )n

2

成立．                                …（9分）
（3）由（2）可得2bn=(1+

2

)n+(1-

2

)n是正整数，-1＜1-

2

＜0，所以当n为偶数时，0＜(1-

2

)n＜1，…（12分）
则有2bn-1＜(1+

2

)n＜2bn，
所以2b_n-1是不超过(1+

2

)n的最大整数，[(1+

2

)n]=2bn-1．     …（14分）
当n为奇数时，[(1+

2

)n]=2bn．                                  …（16分）

点评：本题考查二项式定理及其应用，考查计算、分类讨论、分析解决问题的能力．