Question

（2009•普陀区二模）若n∈N^*，(1+

2

)n=

2

an+bn（a_n、b_n∈Z）．
（1）求a₅+b₅的值；
（2）求证：数列{b_n}各项均为奇数．

Answer 1

分析：（1）令n=5，利用二项式定理展开，然后化简整理可求出a₅与b₅的值，从而求出所求；
（2）利用数学归纳法证明，先奠基，然后假设假设当n=k时，然后证明当n=k+1时也成立即可．

解答：解：（1）当n=5时，(1+

2

)5=

C

0 5

+

C

1 5

2

+

C

2 5

(

2

)2+…+

C

5 5

 (

2

)5
=[

C

0 5

+

C

2 5

(

2

)2+

C

4 5

(

2

)4]+[

C

1 5

2

+

C

2 5

(

2

)3+

C

5 5

(

2

)5]
=41+29

2

故a₅=29，b₅=41所以a₅+b₅=70
（2）证明：由数学归纳法
（i）当n=1时，易知b₁=1，为奇数；
（ii）假设当n=k时，(1+

2

)k=

2

ak+bk，其中b_k为奇数；
则当n=k+1时，(1+

2

)k+1=(1+

2

)k(1+

2

) =(

2

ak+bk)(1+

2

)
=

2

(ak+bk)+(bk+2ak)
∴b_k+1=b_k+2a_k，又a_k、b_k∈Z，所以2a_k是偶数，
由归纳假设知b_k是奇数，故b_k+1也是奇数
综（i）（ii）可知数列{b_n}各项均为奇数．

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，以及利用数学归纳法证明有关问题，属于中档题．