Question

已知方向向量为的直线过椭圆（）的焦点以及点，椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上。

（1）求椭圆的方程

（2）过点的直线交椭圆于点，且满足

（为坐标原点），求直线的方程

Answer 1

解：（1）已知直线方向向量为，所以，直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为：

即

设点关于直线的对称点为，则直线的方程为：

解方程组：

  得

所以，点的坐标为，又点在椭圆的右准线上，

所以

又直线过椭圆的焦点，可知椭圆的该焦点为

所以    

故，椭圆的方程为：                ……………… 6分

（2）当直线的斜率存在时，设直线直线的方程为：

联立方程组  消得：

设，，则由韦达定理有：

                                                ……………… 10分

由条件得：

，且

所以

即         ……………… 12分

而

       

       

点到直线的距离为

所以有，解得，

当直线的斜率不存在时，直线直线的方程为：

此时，，

也有

故直线： 或 为所求          ……………… 14分