Question

19．用1，2，3，4，5，6，7排成无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
（1）偶数不相邻；
（2）偶数一定在奇数位上；
（3）1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数．

Answer 1

分析 （1）插空法：1 3 5 7，包括前后共5个空，可以插入偶数，可得结论；
（2）奇数位有4个，偶数有3个，4选3排完偶数，然后4个奇数在其他位全排，可得结论；
（3）首先1和2有两种排序，然后中间的数有3、5、7三个可能，最后是1、2和它们中间的数构成一个三个数的整体，不可分割，与其他的四个数构成排序，所以是5！，即可得到结论．

解答 解：（1）插空法：1 3 5 7，包括前后共5个空，可以插入偶数，有${A}_{4}^{4}{A}_{5}^{3}$=1440个；
（2）奇数位有4个，偶数有3个，4选3排完偶数，然后4个奇数在其他位全排，有${A}_{4}^{3}{A}_{4}^{4}$=576个；
（3）${A}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}$×5！=720种

点评 本题考查计数原理的应用，考查插空法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．