Question

已知椭圆的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
（1）求曲线C的方程；
（2）设P、T两点的横坐标分别为x₁、x₂，证明：x₁•x₂=1；
（3）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意设双曲线C的方程，利用双曲线的离心率为，建立等式，从而可求双曲线C的方程；
（2）证法1：设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；
证法2：利用k_AP=k_AT，建立等式，根据点P和点T分别在双曲线和椭圆上，可得方程，代入化简，可得结论；
证法3：设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标，即可证得结论；
（3）利用，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面积公式求面积，从而可得的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求的取值范围．
解答：（1）解：依题意可得A（-1，0），B（1，0）．…（1分）
设双曲线C的方程为（b＞0），
因为双曲线的离心率为，所以，即b=2．
所以双曲线C的方程为．…（3分）
（2）证法1：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），
则直线AP的方程为y=k（x+1），…（4分）
联立方程组…（5分）
整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或．所以．…（6分）
同理可得，．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
证法2：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
则，．…（4分）
因为k_AP=k_AT，所以，即．…（5分）
因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，．…（6分）
所以，即．…（7分）
所以x₁•x₂=1．…（8分）
证法3：设点P（x₁，y₁），直线AP的方程为，…（4分）
联立方程组…（5分）
整理，得，
解得x=-1或．…（6分）
将代入，得，即．
所以x₁•x₂=1．…（8分）
（3）解：设点P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
则，．
因为，所以，即．…（9分）
因为点P在双曲线上，则，所以，即．
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x₁≤2．…（10分）
因为，，
所以．…（11分）
由（2）知，x₁•x₂=1，即．
设，则1＜t≤4，．
设，则，
当1＜t＜2时，f'（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，
所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．
因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以当t=4，即x₁=2时，．…（12分）
当t=2，即时，．…（13分）
所以的取值范围为[0，1]．…（14分）
点评：本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．